等差数列求和 - 彩色打印版
等差数列求和是指将等差数列的前n项相加的过程，记作 \(S_n\)。
例如：等差数列 5, 7, 9, 11 的求和为 \(5 + 7 + 9 + 11\)。
\[S_n = \frac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)\]
其中：\(a\) 是首项，\(d\) 是公差，\(n\) 是项数
\[S_n = \frac{n}{2}(a + l)\]
其中：\(l\) 是第n项（最后一项）
配对法的关键在于将和式正写和倒写后相加，使得每对数的和都相等，从而简化计算。
题目：证明前100个自然数的和是5050。
解答：
自然数是正整数：1, 2, 3, 4, ...
设 \(S_{100} = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100\) (1)
将和式倒写：\(S_{100} = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1\) (2)
将(1)和(2)相加：
\(2S_{100} = (1+100) + (2+99) + (3+98) + ... + (100+1)\)
\(2S_{100} = 101 + 101 + 101 + ... + 101\) (共100个101)
\(2S_{100} = 100 \times 101\)
\[S_{100} = \frac{100 \times 101}{2} = 5050\]
题目：求等差数列 \(32 + 27 + 22 + 17 + 12 + ...\) 的前50项和。
解答：
首项 \(a = 32\)，公差 \(d = -5\)
使用公式：\(S_n = \frac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)\)
\(S_{50} = \frac{50}{2}\left(2 \times 32 + (50-1) \times (-5)\right)\)
\(S_{50} = 25 \times (64 - 245) = 25 \times (-181) = -4525\)
题目：求使等差数列 \(4 + 9 + 14 + 19 + ...\) 的和超过2000的最少项数。
解答：
首项 \(a = 4\)，公差 \(d = 5\)
设需要n项使和超过2000，即 \(S_n > 2000\)
使用公式：\(S_n = \frac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)\)
\(\frac{n}{2}\left(2 \times 4 + (n-1) \times 5\right) > 2000\)
\(\frac{n}{2}(8 + 5n - 5) > 2000\)
\(\frac{n}{2}(5n + 3) > 2000\)
\(n(5n + 3) > 4000\)
\(5n^2 + 3n - 4000 > 0\)
解得 \(n > 27.99\)，所以需要28项。
在使用公式时，要特别注意公差的符号。当公差为负数时，数列是递减的，但求和公式仍然适用。
1. 混淆首项和第一项：首项是 \(a\)，第一项是 \(a\)，第二项是 \(a+d\)
2. 公差符号错误：递减数列的公差是负数
3. 项数计算错误：要仔细计算项数，特别是涉及不等式的题目
4. 公式选择不当：要根据已知条件选择合适的公式形式